自分メモ、1より小さい等比級数の求め方
等比級数の和を求めるとき「初項を外に出して計算する」理由と、初項の出どころ
例題：Sn = Σk=1→n ((1/3)k − (1/2)k)
1. 級数とは？
数列 a1, a2, a3, … の各項を足し合わせたものを級数（series）と呼びます。
たとえば、
Sn = a1 + a2 + … + an
が有限級数、S∞ = a1 + a2 + a3 + … が無限級数です。
2. 等比級数の基本構造
等比級数は次のように表されます。
Sn = a + ar + ar2 + … + arn−1
ここで：
a：初項r：公比n：項数
すべての項に 共通して初項 a が掛かっているため、次のようにまとめて外に出せます。
Sn = a(1 + r + r2 + … + rn−1)
括弧内は初項 1、公比 r の等比級数なので、
1 + r + r2 + … + rn−1 = (1 − rn)/(1 − r)
したがって、
Sn = a · (1 − rn) / (1 − r)
これが「初項が含まれているから外に出して計算する」理由です。
3. 例題：Sn = Σ ((1/3)k − (1/2)k) を求める
次の級数を2つに分けます：
S_n = Σ (1/3)^k − Σ (1/2)^k = A_n − B_n
3.1 An の計算（初項 1/3、公比 1/3）
An = (1/3) · (1 − (1/3)n) / (1 − 1/3)
= (1/3) · (1 − (1/3)n) / (2/3)
= (1/2)(1 − (1/3)n)
3.2 Bn の計算（初項 1/2、公比 1/2）
Bn = (1/2) · (1 − (1/2)n) / (1 − 1/2)
= (1/2) · (1 − (1/2)n) / (1/2)
= 1 − (1/2)n
3.3 差をとる
Sn = An − Bn
計算すると：
S_n = (1/2)(1 − (1/3)^n) − (1 − (1/2)^n) = (1/2) − (1/2)(1/3)^n − 1 + (1/2)^n = −1/2 − (1/2)(1/3)^n + (1/2)^n
よって、
Sn = −1/2 − (1/2)(1/3)n + (1/2)n
4. −1/2 の出どころ
展開途中の (1/2) − 1 の部分から生まれます。
- An の定数部分：
+1/2 - Bn の定数部分：
+1 - 差：
(1/2) − 1 = −1/2
つまり、2つの等比級数の「初項の差（定数項）」が −1/2 として残っているのです。
5. 無限に続けたとき（n → ∞）
公比が 1 未満なので、(1/3)n と (1/2)n は 0 に近づきます。
したがって、
S∞ = −1/2
6. まとめ
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 初項を外に出せる理由 | 全項が「初項×公比のべき」で構成されており、共通因数だから |
| 計算結果 | Sn = −1/2 − (1/2)(1/3)n + (1/2)n |
| −1/2 の由来 | (1/2) − 1 = −1/2（定数部分の差） |
| 無限和（収束値） | S∞ = −1/2 |